Kvadratická rovnice
Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru ax² + bx + c = 0, kde a ≠ 0. Řeší se pomocí diskriminantu D = b² − 4ac a vzorce x = (−b ± √D) / (2a). Kalkulačka níže spočítá kořeny, diskriminant, vrchol paraboly i rozklad na součin a ukáže celý postup krok za krokem – stačí zadat koeficienty a, b, c.
x² +
x +
= 0
—
Co je kvadratická rovnice
Kvadratická rovnice je rovnice s neznámou ve druhé mocnině. Obecný tvar je ax² + bx + c = 0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a ≠ 0 (jinak by šlo o lineární rovnici). Číslu a se říká kvadratický koeficient, b je lineární koeficient a c absolutní člen.
Řešením rovnice jsou hodnoty x (tzv. kořeny), pro které platí rovnost. Graficky odpovídají bodům, kde parabola y = ax² + bx + c protíná osu x.
Vzorec pro kvadratickou rovnici
Kořeny se spočítají dosazením koeficientů do vzorce, kde D je diskriminant:
x = −b ± √D2a , D = b² − 4ac
Nejdřív se vyčíslí diskriminant D = b² − 4ac, pak se dosadí do vzorce. Znaménko diskriminantu rozhoduje o tom, kolik má rovnice řešení.
Diskriminant a počet řešení
Diskriminant D = b² − 4ac určuje počet a typ kořenů:
| Diskriminant | Počet řešení | Kořeny |
|---|---|---|
| D > 0 | dvě různá reálná řešení | x = (−b ± √D) / (2a) |
| D = 0 | jedno (dvojnásobné) řešení | x = −b / (2a) |
| D < 0 | žádné reálné řešení (dva komplexní kořeny) | x = (−b ± i√|D|) / (2a) |
Jak vyřešit kvadratickou rovnici krok za krokem
Příklad: vyřešte x² − 5x + 6 = 0.
- Určíme koeficienty: a = 1, b = −5, c = 6.
- Spočítáme diskriminant: D = b² − 4ac = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1.
- D > 0 → rovnice má dvě reálná řešení. Odmocníme: √D = √1 = 1.
- Dosadíme do vzorce: x = (5 ± 1) / 2.
- Kořeny: x₁ = (5 + 1)/2 = 3, x₂ = (5 − 1)/2 = 2.
Kontrola Vietovými vzorci: x₁ + x₂ = 3 + 2 = 5 = −b/a a x₁ · x₂ = 3 · 2 = 6 = c/a. Sedí.
Řešené příklady kvadratických rovnic
Procvičte si kvadratické rovnice na 24 řešených příkladech rozdělených podle typu. U každého klikněte na název a rozbalí se celý postup i výsledek – ideální na samostatné procvičování, řešení není vidět na první pohled.
Příklady: dvě reálná řešení (D > 0)
Příklad 1: x² − 7x + 10 = 0
a = 1, b = −7, c = 10.
D = b² − 4ac = 9 (D > 0 → dva reálné kořeny).
√D = 3 → x = (−b ± √D) / (2a) = (7 ± 3) / 2.
x₁ = 5, x₂ = 2
Příklad 2: x² + x − 12 = 0
a = 1, b = 1, c = −12.
D = b² − 4ac = 49 (D > 0 → dva reálné kořeny).
√D = 7 → x = (−b ± √D) / (2a) = (−1 ± 7) / 2.
x₁ = 3, x₂ = −4
Příklad 3: 2x² − 7x + 3 = 0
a = 2, b = −7, c = 3.
D = b² − 4ac = 25 (D > 0 → dva reálné kořeny).
√D = 5 → x = (−b ± √D) / (2a) = (7 ± 5) / 4.
x₁ = 3, x₂ = 1/2
Příklad 4: x² − 2x − 5 = 0
a = 1, b = −2, c = −5.
D = b² − 4ac = 24 (D > 0 → dva reálné kořeny).
D není druhá mocnina → x = (2 ± √24) / 2.
x₁ ≈ 3,4495, x₂ ≈ −1,4495
Příklady: dvojnásobný kořen (D = 0)
Příklad 5: x² − 6x + 9 = 0
a = 1, b = −6, c = 9.
D = b² − 4ac = 0 → jeden dvojnásobný kořen.
x = −b / (2a) = 6 / 2 = 3
Rozklad: (x − 3)²
Příklad 6: x² + 10x + 25 = 0
a = 1, b = 10, c = 25.
D = b² − 4ac = 0 → jeden dvojnásobný kořen.
x = −b / (2a) = −10 / 2 = −5
Rozklad: (x + 5)²
Příklad 7: 4x² − 4x + 1 = 0
a = 4, b = −4, c = 1.
D = b² − 4ac = 0 → jeden dvojnásobný kořen.
x = −b / (2a) = 4 / 8 = 1/2
Rozklad: 4(x − 1/2)²
Příklad 8: 9x² + 6x + 1 = 0
a = 9, b = 6, c = 1.
D = b² − 4ac = 0 → jeden dvojnásobný kořen.
x = −b / (2a) = −6 / 18 = −1/3
Rozklad: 9(x + 1/3)²
Příklady: bez reálného řešení (D < 0)
Příklad 9: x² + 2x + 5 = 0
a = 1, b = 2, c = 5.
D = b² − 4ac = −16 < 0 → v reálných číslech nemá řešení.
Komplexně: x = (−2 ± √16·i) / 2 = −1 ± 2i
Příklad 10: x² − 4x + 13 = 0
a = 1, b = −4, c = 13.
D = b² − 4ac = −36 < 0 → v reálných číslech nemá řešení.
Komplexně: x = (4 ± √36·i) / 2 = 2 ± 3i
Příklad 11: 2x² + 2x + 1 = 0
a = 2, b = 2, c = 1.
D = b² − 4ac = −4 < 0 → v reálných číslech nemá řešení.
Komplexně: x = (−2 ± √4·i) / 4 = −1/2 ± 1/2i
Příklad 12: x² + x + 1 = 0
a = 1, b = 1, c = 1.
D = b² − 4ac = −3 < 0 → v reálných číslech nemá řešení.
Komplexně: x = −1/2 ± 0,866i
Příklady: ryze kvadratická rovnice (b = 0)
Příklad 13: x² − 9 = 0
Osamostatníme x²: 1x² = 9 → x² = 9.
x = ±√9 = ±3
Příklad 14: 2x² − 50 = 0
Osamostatníme x²: 2x² = 50 → x² = 25.
x = ±√25 = ±5
Příklad 15: x² − 7 = 0
Osamostatníme x²: 1x² = 7 → x² = 7.
x = ±√7 = ±2,6458 (kořen není celé číslo)
Příklad 16: 4x² − 1 = 0
Osamostatníme x²: 4x² = 1 → x² = 1/4.
x = ±√1/4 = ±1/2
Příklady: neúplná bez absolutního členu (c = 0)
Příklad 17: x² − 3x = 0
Vytkneme x: x(1x − 3) = 0.
Součin je nula → x = 0 nebo 1x − 3 = 0.
x₁ = 0, x₂ = −b/a = 3
Příklad 18: 2x² + 8x = 0
Vytkneme x: x(2x + 8) = 0.
Součin je nula → x = 0 nebo 2x + 8 = 0.
x₁ = 0, x₂ = −b/a = −4
Příklad 19: 5x² − 10x = 0
Vytkneme x: x(5x − 10) = 0.
Součin je nula → x = 0 nebo 5x − 10 = 0.
x₁ = 0, x₂ = −b/a = 2
Příklad 20: 3x² + x = 0
Vytkneme x: x(3x + 1) = 0.
Součin je nula → x = 0 nebo 3x + 1 = 0.
x₁ = 0, x₂ = −b/a = −1/3
Příklady: řešení rozkladem na součin (Vietovy vzorce)
Příklad 21: x² − 8x + 15 = 0
a = 1, b = −8, c = 15.
Hledáme dvě čísla se součtem −b/a = 8 a součinem c/a = 15.
Jsou to 5 a 3.
Rozklad: (x − 5)(x − 3) = 0 → kořeny 5, 3
Příklad 22: x² + 5x + 6 = 0
a = 1, b = 5, c = 6.
Hledáme dvě čísla se součtem −b/a = −5 a součinem c/a = 6.
Jsou to −2 a −3.
Rozklad: (x + 2)(x + 3) = 0 → kořeny −2, −3
Příklad 23: x² − x − 6 = 0
a = 1, b = −1, c = −6.
Hledáme dvě čísla se součtem −b/a = 1 a součinem c/a = −6.
Jsou to 3 a −2.
Rozklad: (x − 3)(x + 2) = 0 → kořeny 3, −2
Příklad 24: x² + 7x + 10 = 0
a = 1, b = 7, c = 10.
Hledáme dvě čísla se součtem −b/a = −7 a součinem c/a = 10.
Jsou to −2 a −5.
Rozklad: (x + 2)(x + 5) = 0 → kořeny −2, −5
Neúplná kvadratická rovnice
Pokud chybí lineární člen nebo absolutní člen, mluvíme o neúplné kvadratické rovnici a často ji vyřešíme rychleji než vzorcem:
- Ryze kvadratická rovnice (b = 0): ax² + c = 0. Osamostatníme x² a odmocníme: x = ±√(−c/a). Příklad 2x² − 18 = 0 → x = ±3.
- Bez absolutního členu (c = 0): ax² + bx = 0. Vytkneme x: x(ax + b) = 0, takže jeden kořen je vždy x = 0 a druhý x = −b/a. Příklad 3x² − 6x = 0 → x = 0 a x = 2.
Vietovy vzorce
Vietovy vzorce dávají do vztahu kořeny a koeficienty rovnice – hodí se na kontrolu i na rychlý rozklad:
x₁ + x₂ = −ba , x₁ · x₂ = ca
Příklad: u rovnice x² − 7x + 12 = 0 je součet kořenů 7 a součin 12. Dvojice 3 a 4 to splňuje, proto jsou kořeny 3 a 4.
Rozklad kvadratického trojčlenu na součin
Známe-li kořeny x₁ a x₂, lze trojčlen rozložit na součin:
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
Například x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Když je D = 0, je rozklad a(x − x₁)². Při D < 0 trojčlen v oboru reálných čísel rozložit nelze.
Praktické využití
- Fyzika – výpočet času u vrhu nebo volného pádu (dráha závisí na čase kvadraticky).
- Geometrie – obsahy a rozměry; navazuje na obsah čtverce a obdélníku i obsah trojúhelníku.
- Práce se zlomkovými koeficienty usnadní kalkulačka zlomků.
Často kladené otázky ke kvadratické rovnici
Jak vyřešit kvadratickou rovnici?
Rovnici upravte do tvaru ax² + bx + c = 0, spočítejte diskriminant D = b² − 4ac a dosaďte do vzorce x = (−b ± √D) / (2a). Kalkulačka výše to udělá za vás včetně postupu krok za krokem.
Co je diskriminant a co určuje?
Diskriminant je číslo D = b² − 4ac. Pokud D > 0, má rovnice dvě reálná řešení; pokud D = 0, jedno dvojnásobné; pokud D < 0, nemá reálné řešení (kořeny jsou komplexní).
Jaký je vzorec pro kvadratickou rovnici?
x = (−b ± √D) / (2a), kde D = b² − 4ac. Nejprve se spočítá diskriminant, pak se dosadí do vzorce a vyčíslí oba kořeny (se znaménky + a −).
Co je neúplná kvadratická rovnice?
Neúplná rovnice nemá lineární člen (b = 0, tzv. ryze kvadratická ax² + c = 0) nebo absolutní člen (c = 0, tvar ax² + bx = 0). Řeší se rychleji – odmocněním, resp. vytknutím x.
Kolik řešení má kvadratická rovnice?
Nejvýše dvě reálná. Konkrétní počet určuje diskriminant: dvě (D > 0), jedno dvojnásobné (D = 0), nebo žádné reálné (D < 0).
Jak rozložit kvadratický trojčlen na součin?
Najděte kořeny x₁ a x₂ a zapište ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Například x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Při D = 0 je rozklad a(x − x₁)².
K čemu jsou Vietovy vzorce?
Vietovy vzorce spojují kořeny s koeficienty: součet kořenů je −b/a a součin c/a. Hodí se na kontrolu výsledku i na rychlé „uhodnutí“ celočíselných kořenů.
Co když je diskriminant záporný?
Při D < 0 rovnice nemá řešení v reálných číslech. Existují však dvě komplexní řešení ve tvaru x = (−b ± i√|D|) / (2a), která kalkulačka také zobrazí.
Aktualizováno 20.06.2026 · Připravila redakce Převedeno.cz