Obsah a obvod kruhu: vzorce, příklady a online kalkulačka
Obsah a obvod kruhu spočítáte ze dvou vzorců: obsah (plochu) jako S = π · r² a obvod jako o = 2 · π · r, kde r je poloměr a π ≈ 3,14159. Zadejte poloměr, průměr nebo obvod a kalkulačka okamžitě dopočítá zbývající rozměry i obsah.
-
Vzorce pro obsah a obvod kruhu
Stačí znát jeden údaj – poloměr (r), nebo průměr (d). Mezi nimi platí d = 2 · r, takže každý vzorec lze zapsat v obou variantách. Konstantou je Ludolfovo číslo π ≈ 3,14159.
Obsah (plocha) kruhu
S = π · r² = π · d² / 4
obsah = pí × poloměr na druhou
Obvod kruhu
o = 2 · π · r = π · d
obvod = 2× pí × poloměr, nebo pí × průměr
Řešený příklad krok za krokem
Vezměme kruh o poloměru r = 7 cm a spočítejme obojí.
Obvod:
- Dosadíme do o = 2 · π · r.
- o = 2 · 3,14159 · 7
- o ≈ 43,98 cm
Obsah (plocha):
- Dosadíme do S = π · r².
- S = 3,14159 · 7² = 3,14159 · 49
- S ≈ 153,94 cm²
Znáte-li jen průměr (d = 14 cm), počítejte rovnou z něj: o = π · d ≈ 43,98 cm a S = π · d² / 4 ≈ 153,94 cm². Pozor na nejčastější chybu: do S = π · r² patří poloměr, ne průměr – záměna zvětší výsledek čtyřnásobně.
Počítáte kruh ve škole? Slovní úloha i čtvercová síť
Většina dotazů na obsah a obvod kruhu míří do školních lavic – proto přidáváme to, co v učebnici i v pracovním listu bývá: slovní úlohu a odhad plochy ve čtvercové síti.
Slovní úloha: Kruhový záhon má průměr 3 m. Kolik metrů obrubníku potřebujeme okolo a jakou má záhon plochu?
- Poloměr: r = d / 2 = 1,5 m.
- Obvod (obrubník): o = 2 · π · 1,5 ≈ 9,42 m.
- Obsah (plocha záhonu): S = π · 1,5² ≈ 7,07 m².
Kruh ve čtvercové síti (oblíbená úloha na 2. stupni): obsah lze i odhadnout. Spočítáte celé čtverečky uvnitř kruhu a k nim přidáte zhruba polovinu těch, kterými hranice prochází. U kruhu o poloměru 5 čtverečků vyjde odhad kolem 78–79 čtverečků – a přesný výpočet S = π · 5² dá 78,54. Odhad i vzorec tak sedí, což je dobrá kontrola.
Zpětný výpočet: z obvodu nebo obsahu na poloměr a průměr
Vzorce fungují i obráceně – hodí se, když máte naměřený obvod nebo plochu a dopočítáváte zbytek.
| Co znám | Co hledám | Vzorec |
|---|---|---|
| Obvod (o) | Poloměr | r = o / (2 · π) |
| Obvod (o) | Průměr | d = o / π |
| Obsah (S) | Poloměr | r = √(S / π) |
| Obsah (S) | Obvod | o = √(4 · π · S) |
| Obvod (o) | Obsah | S = o² / (4 · π) |
Příklad: znám obvod o = 31,42 cm → poloměr r = 31,42 / (2 · 3,14159) ≈ 5 cm, průměr 10 cm a obsah S = π · 5² ≈ 78,54 cm².
Kruh, nebo kružnice? V čem je rozdíl
Kružnice je jen ta „čára“ (hranice) – množina bodů stejně vzdálených od středu. U kružnice počítáme jen obvod (délku).
Kruh je celá plocha uvnitř. U kruhu počítáme obsah i obvod. Proto je „obsah kružnice“ technicky nesprávně – správně je obsah (plocha) kruhu.
Tabulka: obsah a obvod kruhu podle poloměru
Rychlá orientace (π = 3,14159, zaokrouhleno na 2 desetinná místa):
| Poloměr (r) | Průměr (d) | Obvod (o) | Obsah (S) |
|---|---|---|---|
| 1 cm | 2 cm | 6,28 cm | 3,14 cm² |
| 2 cm | 4 cm | 12,57 cm | 12,57 cm² |
| 3 cm | 6 cm | 18,85 cm | 28,27 cm² |
| 5 cm | 10 cm | 31,42 cm | 78,54 cm² |
| 10 cm | 20 cm | 62,83 cm | 314,16 cm² |
| 15 cm | 30 cm | 94,25 cm | 706,86 cm² |
| 20 cm | 40 cm | 125,66 cm | 1 256,64 cm² |
| 50 cm | 100 cm | 314,16 cm | 7 853,98 cm² |
| 100 cm | 200 cm | 628,32 cm | 31 415,93 cm² |
Obsah a obvod kruhu v praxi
- Pizza: průměr 32 cm (r = 16 cm) → plocha ≈ 804 cm². Větší průměr přidává plochu „na druhou“: pizza 40 cm má už ≈ 1 257 cm².
- Kruhový bazén: průměr 4 m (r = 2 m) → hladina ≈ 12,57 m², obvod ≈ 12,57 m (kolik metrů lemu obejdete).
- Dortová forma: průměr 26 cm (r = 13 cm) → dno ≈ 531 cm². Recept na jinou velikost přepočítá kalkulačka přepočtu velikosti dortové formy.
Jak kalkulačka počítá
Kalkulačka počítá s plnou hodnotou π (≈ 3,14159). Zadáte poloměr, průměr nebo obvod a kalkulačka z něj dopočítá zbývající dva rozměry i obsah (plochu) podle vzorců výše; obsah se zadat nedá, je to výsledek. Hodnoty zobrazuje až na čtyři desetinná místa. Podrobný rozbor i další řešené příklady najdete v průvodci obsah kruhu: vzorec, výpočet a příklady.
Často kladené otázky k obsahu a obvodu kruhu
Jaký je vzorec pro obsah a obvod kruhu?
Obsah (plocha) kruhu je S = π · r², obvod je o = 2 · π · r, kde r je poloměr a π ≈ 3,14159. Z průměru d: S = π · d² / 4 a o = π · d.
Jak vypočítat obvod kruhu, znám-li průměr?
Obvod = průměr krát pí, tedy o = π · d. Při průměru 10 cm je obvod o = 3,14159 · 10 ≈ 31,42 cm.
Jak vypočítat obsah (plochu) kruhu z průměru?
Použijte S = π · d² / 4. Při průměru 10 cm je obsah S = 3,14159 · 100 / 4 ≈ 78,54 cm². Jde i přes poloměr: r = d / 2, pak S = π · r².
Jak vypočítám průměr kruhu, když znám obvod?
Vydělte obvod číslem pí: d = o / π. Poloměr je pak polovina. Příklad: obvod 31,42 cm → průměr 10 cm, poloměr 5 cm.
Jak vypočítat poloměr kruhu z obsahu?
Z obsahu dopočítáte poloměr odmocninou: r = √(S / π). Příklad: obsah 78,54 cm² → poloměr √(78,54 / 3,14159) = √25 = 5 cm.
Je obsah kruhu totéž co plocha kruhu?
Ano. „Obsah kruhu“ je odborný geometrický termín, „plocha kruhu“ je běžnější slovo pro stejnou veličinu. Obojí se počítá vzorcem S = π · r².
Jaká je hodnota čísla pí (π)?
Pí je iracionální číslo s nekonečným desetinným rozvojem bez opakování. Pro běžné výpočty stačí 3,14159 (často se zaokrouhluje na 3,14).
Aktualizováno 24. 6. 2026 · Připravila redakce Převedeno.cz