Směrodatná odchylka a rozptyl — výpočet online
Směrodatná odchylka udává, jak daleko jsou hodnoty v průměru od průměru — čím je větší, tím jsou data rozptýlenější. Vložte čísla do kalkulačky a získáte výběrovou i populační odchylku, rozptyl, variační koeficient, kvartily a IQR.
Čísla odděluji:
Řešený příklad: odchylka krok za krokem
Spočítejme směrodatnou odchylku řady 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 (výchozí data kalkulačky, n = 8):
- Průměr: (10 + 12 + 23 + 23 + 16 + 23 + 21 + 16) ÷ 8 = 144 ÷ 8 = 18
- Odchylky od průměru na druhou: (10−18)² = 64; (12−18)² = 36; (23−18)² = 25 (3×); (16−18)² = 4 (2×); (21−18)² = 9. Součet = 192
- Rozptyl populační: σ² = 192 ÷ 8 = 24 → σ = √24 ≈ 4,899
- Rozptyl výběrový: s² = 192 ÷ (8−1) ≈ 27,4286 → s = √27,4286 ≈ 5,2372
Interpretace: hodnoty se od průměru 18 typicky liší zhruba o 5. Jednotka odchylky je vždy stejná jako jednotka dat (Kč, cm, body…), rozptyl má jednotku na druhou — proto se v praxi interpretuje hůř.
Výběrová, nebo populační? Proč se dělí n−1
Oba vzorce se liší jen jmenovatelem — a tím, na jaká data se hodí:
- Populační (σ): dělí se n. Použijte, když máte všechna data souboru (známky celé třídy, tržby všech poboček).
- Výběrová (s): dělí se n−1. Použijte, když z výběru (vzorku) odhadujete vlastnosti většího celku — anketa, měření, kontrola části výroby.
Dělení n−1 (tzv. Besselova korekce) kompenzuje to, že vzorek má menší rozptýlení než celá populace — bez ní by odhad vycházel soustavně nižší. U velkých n se oba výsledky prakticky srovnají; v našem příkladu s n = 8 je rozdíl ještě dobře vidět (4,899 vs. 5,237). Ve školních úlohách se počítá většinou populační varianta, ve statistice z výzkumných dat výběrová.
Pravidlo 68–95–99,7: co odchylka říká v praxi
U dat s přibližně normálním (zvonovitým) rozdělením platí užitečná pomůcka (pravidlo tří sigma):
| Interval | Kolik hodnot v něm leží | Příklad: test s průměrem 70 bodů, σ = 10 |
|---|---|---|
| průměr ± 1σ | ≈ 68 % | 60–80 bodů |
| průměr ± 2σ | ≈ 95 % | 50–90 bodů |
| průměr ± 3σ | ≈ 99,7 % | 40–100 bodů |
Kdy odchylka klame: je počítaná z průměru, takže ji odlehlé hodnoty nafukují úplně stejně jako průměr samotný. U dat s extrémy (mzdy, ceny, doby odezvy) proto sáhněte po kvartilech a IQR, které kalkulačka vypisuje také — mezikvartilové rozpětí Q3 − Q1 popisuje „prostředních 50 %“ dat a extrémů si nevšímá. Běžná konvence: hodnota dál než 1,5 × IQR od kvartilů se považuje za odlehlou.
Směrodatná odchylka v Excelu a značení
| Ukazatel | Značka | Excel (CZ) | Excel (EN) |
|---|---|---|---|
| Odchylka populační | σ | =SMODCH.P(A1:A10) | =STDEV.P(A1:A10) |
| Odchylka výběrová | s | =SMODCH.VÝBĚR.S(A1:A10) | =STDEV.S(A1:A10) |
| Rozptyl populační | σ² | =VAR.P(A1:A10) | =VAR.P(A1:A10) |
| Rozptyl výběrový | s² | =VAR.S(A1:A10) | =VAR.S(A1:A10) |
| Kvartil | Q1, Q2, Q3 | =QUARTIL.INC(A1:A10;1) | =QUARTILE.INC(A1:A10;1) |
Kalkulačka nahoře počítá kvartily stejnou metodou jako Excel (lineární interpolace, QUARTILE.INC) — výsledky si tedy můžete rovnou porovnat. Variační koeficient (odchylka ÷ průměr × 100 %) se hodí pro srovnání rozptýlenosti souborů s různými jednotkami nebo úrovněmi: odchylka 5 000 Kč je u platů kolem 45 000 Kč relativně menší rozptyl než odchylka 500 Kč u cen kolem 2 000 Kč.
Průměr, medián a modus téže řady spočítá kalkulačka průměru, mediánu a modu; pro hodnoty s různou důležitostí použijte vážený průměr. Kompletní přehled najdete mezi matematickými kalkulačkami.
Zdroje a metodika
- Vzorce: rozptyl σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n (populační), s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) (výběrová, Besselova korekce); směrodatná odchylka = odmocnina z rozptylu; kvartily metodou lineární interpolace (shodně s Excel QUARTILE.INC); IQR = Q3 − Q1.
- Pravidlo 68–95–99,7 platí pro normální rozdělení (standardní statistická literatura).
Často kladené otázky ke směrodatné odchylce
Jak se počítá směrodatná odchylka?
Spočítejte průměr, od každé hodnoty ho odečtěte a rozdíly umocněte na druhou. Součet těchto čtverců vydělte počtem hodnot n (populační) nebo n−1 (výběrová) — tím získáte rozptyl. Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu.
Jaký je rozdíl mezi rozptylem a směrodatnou odchylkou?
Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu. Rozptyl má jednotku na druhou (Kč², cm²), a proto se špatně interpretuje; odchylka je ve stejné jednotce jako data, takže říká přímo „o kolik se hodnoty typicky liší od průměru“.
Kdy použít výběrovou a kdy populační odchylku?
Populační (dělení n), když máte všechna data celého souboru. Výběrovou (dělení n−1), když ze vzorku usuzujete na větší celek — třeba z ankety mezi 200 lidmi na celou populaci. Kalkulačka ukazuje obě.
Může být směrodatná odchylka záporná nebo nulová?
Záporná nikdy — je to odmocnina ze součtu čtverců. Nulová je právě tehdy, když jsou všechny hodnoty stejné (žádné rozptýlení).
Jakou značku a jednotku má směrodatná odchylka?
Populační odchylka se značí řeckým sigma (σ), výběrová písmenem s. Jednotka je vždy stejná jako jednotka vstupních dat — u platů Kč, u výšek cm, u bodů z testu body.
Co je IQR a k čemu je dobré?
IQR (mezikvartilové rozpětí) = Q3 − Q1, tedy šířka intervalu, ve kterém leží prostřední polovina dat. Na rozdíl od směrodatné odchylky ho neovlivní extrémy, proto se používá k popisu dat s odlehlými hodnotami a k jejich detekci (hodnota dál než 1,5 × IQR od kvartilů bývá považována za odlehlou).
Aktualizováno 17. 7. 2026 · Připravila redakce Převedeno.cz