Prvočísla: ověření, rozklad a tabulka

Co je prvočíslo a kolik jich je

Prvočíslo je celé číslo větší než 1, které má právě dva dělitele: jedničku a samo sebe. Číslo, které má dělitelů víc, se nazývá složené — jde totiž rozložit na součin menších čísel (např. 12 = 2 × 2 × 3).

Několik faktů, které se hodí znát:

• Nejmenší prvočíslo je 2 — a zároveň jediné sudé. Všechna ostatní prvočísla jsou lichá, protože každé další sudé číslo je dělitelné dvěma.
• Číslo 1 není prvočíslo ani složené — má jen jediného dělitele (samo sebe). Podobně 0 mezi prvočísla nepatří.
• Do 100 je 25 prvočísel, do 1000 už 168. Největší prvočíslo neexistuje — je jich nekonečně mnoho (dokázal to Eukleidés).

První prvočísla po řadě: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Za nimi se mezery mezi prvočísly nepravidelně zvětšují.

Rozklad na prvočinitele krok za krokem

Rozklad na prvočinitele znamená zapsat číslo jako součin samých prvočísel. Postupuje se dělením nejmenším možným prvočíslem, dokud nezůstane jednička. Ukažme si to na čísle 360:

Výsledek zapíšeme pomocí mocnin: 360 = 2³ × 3² × 5. Z rozkladu se dá rovnou spočítat i počet všech dělitelů — stačí ke každému exponentu přičíst 1 a hodnoty vynásobit: (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 dělitelů. Kalkulačka nahoře tenhle rozklad i počet dělitelů zobrazí sama.

Jak poznat prvočíslo z hlavy

U menších čísel nemusíte zkoušet dělit vším. Stačí projít pravidla dělitelnosti a stačí testovat dělitele jen do odmocniny čísla — když do té doby žádný dělitel nenajdete, číslo je prvočíslo.

• Dělitelnost 2: číslo je sudé (končí 0, 2, 4, 6, 8). Kromě samotné dvojky žádné sudé číslo prvočíslo není.
• Dělitelnost 3: ciferný součet je dělitelný třemi (např. 51 → 5 + 1 = 6 → dělitelné 3, takže 51 prvočíslo není).
• Dělitelnost 5: číslo končí 0 nebo 5.

Příklad: je 91 prvočíslo? Není sudé, ciferný součet 10 není dělitelný 3, nekončí na 0/5. Zkusíme dělit 7 → 91 : 7 = 13. Takže 91 = 7 × 13, prvočíslo to není — přestože „vypadá“ jako prvočíslo. Proto se u větších čísel vyplatí použít kalkulačku, která projde všechny dělitele automaticky.

Tři omyly, které svádějí k chybě

• „Jednička je prvočíslo.“ Není. Prvočíslo musí mít přesně dva různé dělitele; jednička má jen jednoho. Kdyby se 1 počítala mezi prvočísla, přestal by platit jednoznačný rozklad na prvočinitele.
• „Prvočísla jsou vždy lichá.“ Skoro — výjimkou je právě 2, jediné sudé prvočíslo. Naopak lichost prvočíslo nezaručuje: 9, 15 nebo 21 jsou lichá, ale složená.
• „Když číslo končí na 1, 3, 7 nebo 9, je to prvočíslo.“ Nekončit na sudou číslici nebo pětku je jen nutná, ne postačující podmínka. Číslo 91 (7 × 13) i 27 (3³) tohle „pravidlo“ splňují, přesto prvočísla nejsou.

Tabulka prvočísel do 100 a do 1000 — a k čemu slouží

Kompletní tabulku prvočísel do 100 (všech 25) i do 1000 (všech 168) najdete přímo pod kalkulačkou nahoře — vypisuje je Eratosthenovo síto, takže jsou vždy úplné a správné. Prvočísla přitom nejsou jen školní zajímavost:

• Krácení zlomků: rozklad čitatele i jmenovatele na prvočinitele ukáže, čím lze zlomek zkrátit. Navazuje na to kalkulačka zlomků, která krácení provede za vás.
• Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel se počítají právě z prvočíselných rozkladů dvou čísel.
• Šifrování: na obtížnosti rozkladu velkých čísel na prvočinitele stojí moderní bezpečnost na internetu (např. RSA). Vynásobit dvě velká prvočísla je snadné, zpětný rozklad prakticky neproveditelný.

Další školní nástroje najdete mezi matematickými kalkulačkami — třeba převodník číselných soustav pro práci s dvojkovou a šestnáctkovou soustavou.

Zdroje a metodika

• Definice: prvočíslo je přirozené číslo větší než 1 dělitelné beze zbytku pouze 1 a samo sebou; číslo 1 se mezi prvočísla neřadí (zachovává jednoznačnost rozkladu na prvočinitele — základní věta aritmetiky).
• Kalkulačka testuje prvočíselnost zkušebním dělením do odmocniny čísla, rozklad provádí postupným dělením nejmenším prvočinitelem. Tabulky prvočísel generuje Eratosthenovo síto. Test zvládá čísla až do 10¹².